简介：已知:球O的半径为R, A、B是球O上的两定点且A、B间直线距离为=2a(0<aR),⊙o1是过A、B的平面截球面的任意一个圆半径为x (axR),⊙o1上A、B对应的劣弧长为L1=2x arcsin,⊙o是过A、B的大圆,⊙o上A、B对应的劣弧长为L=R 2arcsin (即:球面距离).求证: L1L

已知:球O的半径为R, A、B是球O上的两定点且A、B间直线距离为=2a(0<aR),⊙o1是过A、B的平面截球面的任意一个圆半径为x (axR),⊙o1上A、B对应的劣弧长为L1=2x arcsin,⊙o是过A、B的大圆,⊙o上A、B对应的劣弧长为L=R 2arcsin (即:球面距离).求证: L1L

证明：引理:sin<<tan (0<<) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略.

证明:(1)当a=R时.过A、B的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L1=L=R  

(2)当0<a<R时

考察⊙o1的半径满足a<xR时，在⊙o1上设A、B对应的圆心角为 

=2arcsin( 2arcsin<2arcsin1=),所以L1=x=2x arcsin,

(L1)求导=2arcsin+2xa(-)=2arcsin-2

 =arcsin,( arcsin<arcsin1=)

则sin=,cos=,tan=

由引理知<tan,则arcsin<

所以(L1)求导<0,则L1=x=2x arcsin在a<xR上为减函数, 

又L1=x=2x arcsin在axR上连续, 所以L1=x=2x arcsin在axR上为减函数, 所以L1=x=2x arcsin2a arcsin=a

L1=x=2x arcsinR 2arcsin=L，所以当x=R时, L1最小=L=R 2arcsin

由以上两种情况可知L1L

评注: 由以上证明可知以AB为直径的大圆对应的劣弧最小。

另证：

如图

欲证，只需证即证

故只需证为减函数

由于

，又当时，

所以，故函数为减函数。从而命题得证。