【河边人语：昨天，小平老师递来《小学数学教师》的第1,2合刊，刊物红色的封面，喜气洋洋。里面刊载了辩课的实录，封2上一组照片，具有强烈的现场感。这是一个真实辩论的场景，有幸参与其间，回味起来依然很有激情。以下文字转载自《小学数学教师》博客，在刊物上是有删减的，这里算是一个全本。】

 

辩课实录

如何实现“少教多学，以学定教”？

——从“平行与相交”的两堂课辩起

 

一、上课教师说课

庄敏（南京市石鼓路小学）：在上课之前，我的内心是非常忐忑和不安的。因为这节课的预设非常少，主要就两个环节：一是认识平行，二是画平行线。在课堂上会出现什么情况，学生又会出现哪些问题，我心里是一点底都没有的。但这课堂的魅力也正是在这儿，就是因为最大程度地放开了，学生才能把他心中的问题、心中的质疑充分地展现出来。

比如，我没有想到孩子们会在“相交”这个问题上一直“纠缠”着，一直在讨论。今天有孩子上来说两条直线平行的话，一定是得这两条线长度一样，其实孩子提到的长度指的却是两条直线间的距离，这也是我没有预设到的。其实有很多内容都已经牵涉下一节“垂直”的问题了。不过，我觉得他们讨论得也非常好，讨论得很到位。包括我前面几次试教，孩子们出现的问题和今天的情况都是不一样的。所以我认为，这种课堂的魅力也恰恰是在这儿。

我们一直在说学生是学习的主人，但是说句实话，我们一直掌握着课堂上的主动权。而今天真正能把话语权交给孩子，确实是一个很大的突破，也是一次很新的尝试。今天好几次孩子们在讨论的时候，我觉得时间不够了，想把话筒拿回来，都拿不回来。我觉得孩子在这样的课堂里，是真正地开动了脑筋的，不但要有自己的想法，还要考虑到别人说的，然后提出自己的质疑。“把话语权交给孩子”，这样的理念是仲广群老师在一年前带入石鼓路的。就我个人而言，也是在一年里慢慢地接受，在质疑、犹豫和不安中走过来的，最后真正打动我的是几次平常的试教中孩子们在课堂里迸发出来的令人激动不已的东西。

今天用这样的方式执教是一次新的尝试，所以还有很多不成熟的地方。比如说今天的时间掌控的不够好，画平行线的问题就没有解决。这些细节上还有一些其他问题，我会在今后的教学实践中进一步地思考、打磨让我们在这条路上走的更远，走得更好。

汪培新（浙江省杭州市学军小学）：我的这节课，总体原则是要突出孩子的主体地位，要让孩子在自主探究中学习。现在课堂的结构在不断地在发生改变，我近阶段一直在思考的一个问题是：从教师的操作来讲，我们的课堂环节要简化，块面处理要大胆。一堂课中最好不要超过三个大的环节，最多四个。因为环节少了，教师主导课堂的时间相对就少了，就能把学生推向前台。如果环节处理得非常细，一环接一环，你在课堂上就要记环节，就没办法关注孩子在表达什么，更不要说去考虑孩子语言表达背后的思维层面是什么。所以，环节越简单，你要做的事情就越少，是根据暴露的孩子的思维情况，你再去点拨和指导。所以，我倡导简化环节，大块处理。

今天的课堂上，我主要把握三个大环节：第一个是通过画、分类，初步认识平行。第二个是在图形中、生活中以及长方体框架中寻找平行线，寻找互相平行，这个过程还是在建构平行的意义。我们浙江用的是人教版教材，将平行、垂直放在一课时完成，对画法没有要求。苏教版教材是：平行、相交，然后画法。今天的课，我根据苏教版教材进行了调整，垂直没有出现。第三个环节就是通过画的过程，掌握画的技法，其实还是在建构平行的意义。这样三个环节就组成了整个课堂。在画的过程中，我也试图把平行、重合、相交，包括后面将要涉及到的垂直，垂直是相交的一种特殊情况，进行一个体系上的沟通，形成一种结构化的东西。我当初大致的设计意图就是这样。

今天上完课后，我主要有两个想法：我们如何根据学生的课堂学习的进程和节奏，更好地调控课堂的、教师推进的节奏？我觉得自己前半段用的时间比较多，后半段略显仓促，这是一个感受。第二个，既然是以学论教、以学定教，或者说以学生的学来推进我们教学的节奏和进度，那么，如何把孩子内隐的思维，孩子们知道那个意思却表达不清楚的那种感觉，如何利用同学间的交流、讨论或是教师的主导，让它外显出来？这个也是非常重要的。这也不是纯粹在课堂内就能做到，可能还要充分地从知识体系层面以及学生的认知层面去精心预设。预设过后，虽然在课堂上不都是我们教师来做，但确实要思考孩子可能会怎样。我们才能决定用什么材料、形式把学生内隐的东西外显出来，以使我们大班教学的时候以点带面、共同提高，面向全体学生。这两点，我觉得值得大家进一步去探究。

 

二、上重建课的打算：教师怎样把握课堂节奏？

陈洪杰：汪老师说到它的教学理念——简化环节、块面处理，我突然想到齐白石的画，画那些瓜果、藤蔓的时候用泼墨的、大块的。但汪老师的课，很多细节的地方，涉及到思维点的地方，他处理得是很细的，比如说画法、平移等。这些细节的处理就像齐白石画中的小虫子。这样既有泼墨，又有工笔，整节课的节奏感就出来了。——我先追问两个问题：庄老师说到“拿不回话筒”，如果再上这节课，怎样调整节奏，把话筒在该拿的时候拿回来？汪老师说到后半段“略显仓促”，如果再上一遍的话，前面哪些环节可以稍微“紧”一点，后面可以从容一点？

庄敏：关于拿回话筒的问题，这也是之前在几次试上中出现的问题。从技术上来说，我可以打断他们。但孩子讨论的正起劲，我又不忍心打断。可能接下来又会出现一些新的想法，正是我们需要的，也是需要他们去进一步讨论的，所以我不忍心打断。这也是刚才我想提出来的一个问题：在这样的课堂上，学生成为了主体，那么教师的介入什么时候是合适的？

我感觉今天在相交的问题上，介入得晚了一些。垂直是不是相交，垂直和相交到底有什么关系，虽然他们讨论的很充分，但之前的几个孩子就已经把问题表述的相对清楚了，可能我在这两个问题一开始暴露出来的时候，就应该介入，这样处理课堂的节奏会更快一点。

陈洪杰：把相交部分再处理得快一点。汪老师，您呢？

汪培新：自己提出的问题，又回到了自己这里。具体怎么处理，我也没有完全想好，就一堂课来讲，有的时候有点难处理，看我们的目标定位。

为什么我会觉得略显仓促呢？如果是人教版的教材，画法不作重点的话，那我觉得就没有关系。我是看了苏教版的教材，在这一课时中，要教孩子学会画平等线，所以我才感觉后面还没有“踩实”。所以我觉得一种办法就是：既然以学论教，就干脆不处理，甚至把前面的部分再放大一点，后面的内容就放在后面的课时中再去处理。如果几头都要兼顾的话，可能弄到最后，就会“四不像”。操作层面，如果意义建构非常到位，真的是孩子自主建构起来的，画法应该不会有很大的问题。我们是不是可以把一堂课放在一个课程的体系中去看待，而不过份地追求一堂课在整体上的完整？

第二种，如果一定要去处理，两块的时间用法可以统整一下。第一块分类讨论的过程，第二块判断图形当中是否存在平行现象、生活中的平行线以及在长方体框架中找平行线，这两块的时间可以统整一下。大家可能感觉到了，我的教学推进其实是围绕着一个核心目标平行推进的，并不是某一个环节解决一个问题，下一个环节解决下一个问题。我其实都是围绕平行的意义，在同一平面内的两条直线位置关系中的平行的意义，然后再并行推进到课堂教学中。这两块的时间可以略微调整一下。缩第一块可以，第二块在讨论的时候可以充分一点；缩第二块也可以，后面孩子在画法上可以补充一些练习。

 

三、“平行与相交”教学中的热点问题

1.怎样处理“在同一平面内”？

夏爱玉（南京市雨花台区实验小学）：两位老师都强调了“在同一平面内”，庄老师强调这个知识点时，好像很希望孩子们能自己发现，而汪特在处理这个问题时是通过一个长方体框架。我在备课时查了相关资料，也有老师认为，可以从课的一开始就从面入手，就强调“在同一平面内”。今天我想向两位老师请教，究竟我们上课时是从面入手，然后到线，还是像今天课上学生理解定义后，再设计一个问题，让学生感受到？另外，我们区有一位老师执教时，是通过一组立交桥，桥上、桥下汽车行进的画面来引导的。这样教，和让老师提问引导，两种方式哪种更好？

庄敏：关于“同一平面内”，如果我们不讲，学生会有歧义吗？我在备这节课时，看了很多版本的教材，北师大版教材就没有提。我个人认为，如果我编教材的话，可能都不会把“同一平面内”这个问题编进去。因为在学生目前的认知层面上，他不会出现这个歧义。

至于处理环节在前在后，前面两次试上的过程中，学生说什么是互相平行，他会读书上的概念。问到学生有什么不理解的，他会问“什么是同一平面”，都是在相交和平行之前提出来的。如果学生先出现这个问题，我就先解决这个问题，如果像今天这样学生后出现这个问题，那我就后解决，没有刻意在前或是在后。你还谈到立交桥，其实这幅图我的U盘里还有，我之前也会让学生去看。但是，当学生看到的是一个俯视的画面时，他觉得还是相交的。我觉得同一平面内是一个难点，但就这节课而言，它不是一个重点。

仲广群（南京市石鼓路小学）：刚才提出的这个问题很有意思，我们可以把思维换一个方向，可不可以与教材辩一辩？现行的教材，把相交和平行放在第一课时，然后教学垂直，优点在于：能很快帮助学生确定两条直线在同一平面内的位置关系，要么相交，要么平行，然后把垂直当作相交的一种特殊情况来处理，这样编排显得比较规整。但从课上就可以看出，这样的编排学生不易掌握。

第一：同一平面内，永不相交的两条直线，可以验证吗？这已经超出了学生的已有经验。第二：要解释“同一平面内”，必须用“异面”才能解释。第三：教材无法解释画平行线时，沿着一根直尺，再用一块三角板往下移，为什么这样移就可以说平行了呢？实际上，刚才所说的一切，都是基于垂直。张奠宙教授对这一问题进行了专门的研究，俄罗斯、德国、日本的教材首先介绍的是垂直，然后很多东西就好解释了。平行线间的距离处处相等这就是基于垂直的概念。他们怎样定义平行？垂直于同一条直线的两条直线是相互平行的。

鲁宗瑞（南京市扬子第二小学）：很多老师在教“平行与相交”或者“垂直”时候，举的是长方体的例子，我倒有个简单的方法，我不知道大家想不想看？（鼓励的掌声）这就是平行！（鲁老师双臂平行前伸，做了学生做操时整理队形的动作），这就是不在同一平面内！（鲁老师左臂继续前伸，右臂斜向上）

2.要不要提出“垂直”？

华琴（南京市栖霞区摄山星城小学）：我想向汪特提个问题：您说到浙江版的教材第一课时的内容是相交、平行和垂直意义的认识，第二课时才是关于平行线的画法。既然您知道这种安排，今天根据学生的实际情况，您为什么没有这样教呢？您让学生自由地画两条直线，画完后让学生分一分类，分完后，其实有三种情况：相交、重合还有平行。我觉得，这个时候，自然而然地提出垂直对于学生来说应该是自然的事情。您为什么不把垂直也是相交的一种情况顺便提出来呢？这是我的第一个困惑。

汪培新：为什么没有提出垂直的概念？如果从以学论教的角度来讲，这不是刻意的，因为今天出现的画法中，没有出现很多垂直这样的情况，学生画出来的基本都是四个角不相等的。如果孩子提出来，有一种情况是垂直，我一定会去带着讲这个概念。既然今天孩子没说，我就不提。课堂有一个主旨、主环节，其他时候教师根据学生的情况来把握，没有说刻意要呈现，也没有说特意不呈现。

仲广群：前面提及其他版本教用垂直引入平行，其实，这样的安排也还是值得推敲的。比如说，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，听起来是不是更像一个定理？这个定理要不要证明？小学生是不是能很好地理解这个定理？等等。我课前和庄老师议过这个话题，曾经也试图把垂直的概念前移，发现新的困难依然存在。而今天庄老师和汪老师，都用自己创造性的教学方式作了处理，教材的无奈与教师的有为，恰恰证明了教师在教学中个体创造性的发挥。

孙谦（南京市游府西街小学）：刚才有老师提出，汪特已经知道了这节课可以教垂直，为什么不在这节课上教。我的想法是，人教版和苏教版的教材都是经过了各位专家很长时间的实践和论证，我们相信专家在之前都经过了充分的考察，也充分了解学生的学习水平。如果教材这样安排，教师却按照自己的意愿来改变，我觉得是不太可能的。老师对于教材的尊重有没有？我觉得应该有。可能我们老师需要做的更多的工作是基于你的学生去考虑，而不是去改变教材的“序”。

3.要不要提出“距离”和“交点”？

许红梅（南京市江宁科学园小学）：我们今天的两节课都是 “平行与相交”，我记得第一节课上，学生提出通过平行线之间的距离来确定它们两条直线互相平行，我就想，这个是不是所有的学生都能理解呢？会不会其他同学会想这个斜着的可能也是距离呢？这在孩子的认知顺序上，会不会有点打乱？这是我的第一个疑问。第二个问题，在第一节课上，庄老师从平行线的定义入手没有提到交点的问题。而汪特的课上，从一开始就介绍了交点，从一个点相交，到重合无数个点，最后到平行0个点。我们在教学这节课的时候，需不需要从交点去更深入地认识平行呢？

庄敏：我今天这节课，停留的角度就是对平行和相交的一个感性的认识。如果说是这样的话，我想学生知道这个点，不知道这个点也好，我想他对相交是什么样应该还是认识的。至于您谈到的距离的问题，也是学生课堂上自己提到到，他认识的距离可能还不是很规范。但是我想，和刚才一样，他是有一定的感性认识的，他知道那个宽度是一样的。包括前面几个学生讲得都不准确，说长度是一样的，所以我认为这是反映了孩子最基本一种感性的认识，或者说是一种表象。我们苏教版教材在学完垂直以后，还会再出现去量平行线之间的距离处处相等，我想到那儿进一步给学生细化，可能会更好一点。

陈洪杰：关于“距离”的问题，我想说两句。许老师的是不是有这样的困惑？就是说我们今天初次认识平行线，那么平行线是什么我们还没有认识清楚，怎么会用后面的平行线之间的距离相等来解释今天的知识呢？这样的现象不仅仅在认识平行线当中有，比如“角的初步认识”，大家会让学生来操作活动角来验证角的大小和两条边的长短无关，只和张开度有关。但是，角的大小都没有定义，你就让他操作，得出角的大小的决定因素，这在逻辑上的确有点讲不通，但根据儿童的特点，这是可以的。

今天这节课，我们可以让儿童说距离来认识平行，但是老师可以追问：你指的距离，你能不能来画一画？然后再追问全班同学：你们同意吗？如果大家都同意，都认可，这个环节就可以过去，没关系。

4.选择怎样的教学材料？

华琴：我还有一个问题。我们省的特级教师王凌老师说他在教学“长方体和正方体的认识”时，不管去哪里上课，都会引用一个很经典的情境——“切萝卜”。因为他觉得这个情境是最朴实、最实用。我觉得您今天用长方体框架来帮学生认识，这个材料的应用也很经典。但对这个材料的运用，我还有一点个人的意见：从长方形到长方体，从平面到立体，这个拓展对于现阶段的学生来说是否有点拔高？

汪培新：从形到体，我没有想过这个过程中难度有多少，平时上课，我会利用教室的场景，寻找教室里的一条已知线的平行线，孩子可以找到很多。我再问，那边也有一条，也和它不相交，那他们也是互相平行吗？这就是我们说的“异面”的问题。在外面上课，有些教室不是很规整，我就带上这个长方体框架。在寻找的过程中，我允许孩子一开始只找到1组，通过引导，孩子有可能找到6组、12组，找18组确实是有点困难的。孩子之间是有差异的，思维比较好的孩子可以达到这个程度，一般的孩子只要能借助平行的意义能够寻找到相应的平行线就可以了。

这里有一个突破是关于“同一平面”这个问题。我想过这样一个话题：我们能不能换一种方式来定义平行：为什么说垂直于同一直线的两条直线互相平行呢？小学生能不能感悟到这个问题呢？有的时候可以。孩子包括我们成人对平行是怎么理解的，只有数学老师会说：同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。一般人会认为：方向一样的那样两条线就是互相平行的，在生活中其实更多的是从方向相同的角度感悟平行的。如果去观察孩子画的平行线，他们最喜欢画什么样的平行线？竖竖的，平平的，平行于水平面或者垂直于水平面，斜的那种他不太喜欢画，因为生活中看到的更多是前两种，他是源于生活的。在来这里上课之前，我也在自己学校里试了一下，孩子认为这两条直线方向不同的，那两条直线方向一样的，方向相同的两条直线一定在同一平面内。如果这样去界定平行，可不可以？——个人认为关键是孩子的头脑中将这种表象建立起来，至于形式，没什么关系。

陈洪杰：说到在头脑中建立表象，并不是像我们想象的立体的体验要比平面的更难，学生体验一个东西的难度并不是从点、线、面、体这样逐步上升的。课改前的教材编写是按“点、线、面、体”这样的顺序，但课改有的教材在低年级就出现了“体”和“面”，然后再按“线、面、体”进一步深入学习。所以，个人认为，王凌老师的“切萝卜”是个好素材，汪特的长发体框架也不坏。前者很生活化，后者更数学味。

 

四、“以学定教”的热点问题

1.以学定教与课堂效率

鲁宗瑞：我在担心，课堂教学当中，会不会因为我们以学定教，而忽视了课堂教学一定要高效，一定要有效？比如汪特这节课，我统计了一下，学生画一画、贴一贴、分一分，到分一分的讨论结束，已经花了20分钟多一点。如果教师先出示几组线段，有平行的，有看上去相交的，有延长相交的，让学生先观察，再分一分。这样教学行不行？我觉得这样子可以节约很多时间，使我们的课堂教学在有限的时间里能够更加高效。

吴卓（珠江路小学）：这个话筒已经有好多人想要抢，但我死抓住不放。（众笑）因为这个机会非常好！鲁老师是在质疑汪特要不要让学生去画，还是直接提供这样一些素材。那我就提供一个观点，首先，很多时候慢就是快，你不要觉得我们拼命往前赶就是快，其实有的时候快就是慢。其次就是，当你老师来提供素材，实际上和孩子的关联是很少的。美国的国家实验室曾做过一个实验，就是一项学习，如果孩子的参与度越高，他们的收获就越大。所以，看似无用的让孩子画这些线条，实际上这些线条来自孩子自己，等会儿讨论的时候孩子们会觉得这些线条和自己息息相关，他会很关注，看似浪费，实际上却是快，却是高效。

陈春（南通市通州区南兴小学）：话筒一不小心到我这，这是缘分，汪特的课上，在14分09秒的时候，一个孩子说第5幅图应该归到第一类当中去，这实际上是整个课堂思维的转折点。汪特花了14分钟，为什么？在这个地方，这样教才是以学定教，是孩子思维真实“生长”出来。如果一开始就说同一平面内两条不相交的直线就是平行线，然后下面类比一下，做一个练习，绝对高效，没有孩子会错，在知识传递方面似乎没有任何问题。但是从学生思维生长的角度来讲，就显得欠缺了，属于灌输和标签。我觉得汪老师前面十几分钟时间是值得的，而且在当中更多的孩子是有疑问的啊，这就是真实的课堂生态，有疑问的课堂，也是有力度的课堂。这一节课，如果从“动”和“静”来讲，静的环节不能说是一个消极的环节，静得过程学生可能在思维、在碰撞、在延伸。

2.以学定教与学生负担

戴守楠（南京市小营小学）：学生在学习之前还有个学习单，这节课是40分钟，学生课后的时间做些什么？第一，学习单肯定是要做的；第二，课后练习是要做的；第三，学生还有其他的课业要做。那么在时间上面够不够用？

庄敏：我先讲学习单的问题，其实这节课的预习作业就两题，看完书之后回答两个问题：第一个，你自己说说什么是平行，什么是相交，然后举个例子。第二个就是书上介绍了哪些画平行线的方法，你还能想到哪些方法？就这两题，所以，从负担上来说，应该不是增加的太多，而更多的东西是学生在课堂和辩论当中生成的一些东西。

张桂琴（仪征市华兴小学）：这样的课学生的负担不会加重，反而会减轻，老师也会更加轻松，如果这样坚持的话。我每节课之前是布置预习作业的，分三个层次：第一层次，所有的学生都应该掌握；第二个层次，班级里有一半学生能够掌握；第三层次，你爱学不学。这样做以后，我感觉到课堂的效率提高了，上课也很轻松。当然，学生预习了，你就不能再按照原先的程序进行教学，原来的课堂教学程序应该打乱。学生的预习作业应该是学生能够解决、教师深度思考以后的作业，在课堂开始的时候，你先检查一下学生的预习，学生获得了什么，然后课堂后半段时间，你应该把课本上的作业重新整理，打乱，揉碎，再搀和在一起。就像文学上所说的，捏两个泥人，打碎了，再捏在一起。

3.以学定教与课堂“小明星”

陈春（南通市通州区南兴小学）：今天这个班的孩子是庄老师自己带的么（庄老师点头表示是的），表现非常好！前面一个老师说，这样的课是不是能够模仿，是不是能够去学着做，这当然需要长期的过程，倘若你今年换个班，一个月时间恐怕是不可能达到这个效果的，这里不仅仅是理念问题，还有技术问题，包括课堂表达的程式化，孩子们已经非常熟练了。在庄老师的课上，我也记住了一些孩子的名字，金志凌（音）、朱鹤（音）、荆可薇（音）等。我怎么记住他的名字，当然是他们出现的频率比较高，我在听课的时候想这么一个问题：以学定教，以谁的学定教呢？课堂小明星，这些善于表达的孩子，一个接一个的流利的阐述，质疑，回应。与此同时，在这个课堂空间的另一些孩子，注意到第4小组一个穿红衣服的小女孩这个角落，在那些发言孩子在黑板前面热烈对话的时候，她已经在摆弄自己的衣球（一个装饰品），另几个孩子注意力明显涣散了，他们懂不懂这个知识，也许是懂得，但也或许不懂，那么以学定教的课堂范式如何兼顾这些孩子的状态，当然或许已经有相应的对策了，只是这节课上并没有很清晰地看到罢了。

庄敏：其实，我们整个数学组我跟仲特唱反调唱得最多！我的学生什么时候开始训练的呢？我可以向你保证，只有一个月！前面包括“认识角”和“混合运算”，我都是用这种方式上的且达到很好的效果，最后的接受确实是从自己班上得来的。那个量角时量角器的摆法是个难点，学生在预习之后就不是难点，他在预习就能发现，只要你给学生放开来，我相信不会太长的时间他也能大胆地讲，我们最怕的是学生不讲，只要敢讲了，你就会有材料下锅。至于学生发言率的问题，如果是我上的话，由我来点发言的学生，我不会重复点一个人。但我们要注意到是谁在点学生回答，是上来的孩子在点。当然，让更多的学生发言也是我们以后训练要注意的地方。

张美芳（南京市石鼓路小学）：对于许多老师困惑的课堂上出现“小明星”的现象，我觉得并不是什么问题，有的孩子内向、有的则外向，不发言的不代表他不会。难道你想让每个孩子都成为口才一流的外交家？我想没必要过分追求发言面的广，如果能坚持从一年级就鼓励孩子大胆去说，课上给予孩子更大的思维空间，不管是孩子的学习能力，还是数学的表达能力都会有长足的提高！

陈洪杰：陈春老师提到了课堂上的“小明星”现象。其实庄老师可以强行控制，但她没有去控制，这恰是一种理念的体现。我倒是有个建议，老师们你们敢不敢放，就以庄老师的课回去试试吧！我们说以学定教，说得再多别人不能代替你的。教学是放手的艺术而不是收的艺术。另外，以学定教我们说是一种教学方式，更多情况下其实也是学生的学习方式，师生互动的最终结果构成这样一个定性。不过，教师提醒一下学生不要老是点已经发言的同学，这应该是可以的。

 

五、结语

金春平：我想从教学的方法及教育的理念这个层面去思考一些问题。

今天庄老师的这个教学的方式，可以叫“助学”；第二节课是汪特的，可以概括成“导学”。每一种教学方式都有自己的特点，在它特点形成的时候，它的优点形成了，但是它的缺点也自然存在，这是一个很辩证的东西!

当我把这个观点讲述完之后，我们再来看这两节课的教学方式。第一节课它是一个助学，实际上是一个先学后教，这节课在教学技术层面体现的非常充分，老师们你们经常出来听课，在你们听过的课中像这样的课，近几年你们听过几节？！我们听得不多！这是一个。第二，庄老师今天是不怎么教了，你在她的老师角度替她想一想，老师们如果突然不给我们讲了我们会教吗？这节课老师提出来高效有效的问题，我想这类课，我们更多应该从长效去考虑。我们现在的数学教学就是太急功近利，我考虑的是眼前的利益就是我这节课我教的东西你会不会。很少考虑到我这节课教会你如何去发展，教会你如何去做人。在我对特级教师王凌做的专访中，他说到，“过去我们的思想只在教学这个圈子，从美国考察完之后，我考虑更多问题，也有许多问题想通了。”今天的两节课我们能不能换个角度，从数学教育角度去考虑并考虑更深层的问题。

我们要考虑的第二的问题就是，你是以学定教，老师的教怎么呈现？老师的教怎么来解决？我想到一句话叫及时干预。比如说学生在讲两直线相交形成四个角，怎么回事的时候。我想讲的第二句话就是要适时点拨。比如说当学生在讲出平行的时候，没注意到互相平行，老师这时就可以适时点拨。

那第二节课就是导学，我是这样理解的以学导学，跟我们过去讲的以教导学不一样。怎么知道是以学导学？看他的课是不是用课堂上学生生成的资源来引导学生的学习，是不是用课堂上学生想的问题来引导学生学习。汪特在一些地方处理得非常好，比如在两平行线间讲到一个距离问题等。对于汪特的课也有值得思考得地方，就是有些经验有些材料如何发挥数学方面的作用。比如说一开始你启发学生画一条直线再画一条直线，我在想这多好啊！在一张纸上画是什么呀就是一个平面啊，实际上关于一个平面问题我们不需要搞那么深，我觉得这个地方就是抓住这个材料让学生体会在一个平面，你若是想讲清楚，往往不一定能讲清楚，这是我所说的第一个地方。第二我要讲的是，在分类时学生怎么会用那么长时间，如果说这节课那个地方可以改进的话，我觉得这个地方可以改进一下。为什么在这学生老分不清呢，因为在那些材料中有假性材料，比如说那个V字形它看似有一个交点，如果我们及时把这个材料分离出来，这个问题自然而然地就解决了。我觉得我们对学生提供的材料，在数学层面上还可以做的更好一些！

刘娟娟（南京晓庄师范副教授）：以学生的学来定我们的教的时候，可以在这几个方面作个拓展：比如说在学生学的时候遇到困惑，在困惑的地方老师该如何教，我是不是可以教给学生一些方法和操作，这个时候老师应该站出来帮他解决这方面问题。

我们在课上也看到有些学生在课上对一些概念他可能说不清道不明，在这个地方老师应该站出来考虑一下，帮助学生形成合理的数学语言的表达。数学语言是一种外显的思维外壳，要培养学生的数学素养的话，数学语言的培养肯定是需要的！数学的教学实际就是数学语言的教学，把一种自然的语言提炼成数学语言。数学语言这块我们可以进一步思考它的教学方式。

还有就是学生理不清数学概念之间的关系的时候，教师也应该站出来，本身数学概念之间是有联系的，但学生可能看不到这种联系。我们可以从培养学生认知结构这种角度去思考怎样把知识间的结构呈现出来!这个学生是无法自己完成的，老师需要思考概念间的关系，这是第三个方面。

还有就是让学生掌握理解概念并不是说学生能完整地表述出概念，只要能抓住其中的关键词就够了。真正掌握概念应该是他能够运用这个概念去解决一些实际问题。在帮助学生将知识形态转化为能力形态的时候，我想教师应该在练习的设计和生活运用方面多去收集一些资料，帮助学生实现知识往能力上的转化。

陈洪杰：谢谢金老师和刘老师精彩的总结！有庄老师这堂课的一个绚烂的开始，我想给它划下一个诗意的结尾。我来读八行诗，前四行是我预告第二次辩课中的四句话：

总有些问题不能回避，

总有些历史不该忘记，

总有些经验需要继承，

总有些脚步渴望回归。

后面的四句是一首古诗，题目是《大林寺桃花》：

人间四月芳菲尽，

山寺桃花始盛开。

长恨春归无觅处，

不知转入此中来！

——谢谢，这次辩课到此结束！